int_0 ^1e^-xdx এর মান কত

Another Explanation (5):

প্রশ্ন:

প্রশ্ন: \(\int_0^1 e^{-x} \, dx\) এর মান কত?

উত্তর:

সমাধান:

আমরা নিম্নলিখিত ইন্টিগ্রালটি সমাধান করব:

\[ \int_0^1 e^{-x} \, dx \] প্রথমত, ইন্টিগ্রালটির indefinite form নির্ণয় করি:

\[ \int e^{-x} \, dx \] এখানে, substitution বা সহজে জানা যায় যে, \(\frac{d}{dx}(-e^{-x}) = e^{-x}\)। সুতরাং, \[ \int e^{-x} \, dx = -e^{-x} + C \] এখন, নির্দিষ্ট সীমার জন্য, আমরা মূল্য নির্ণয় করব: \[ \int_0^1 e^{-x} \, dx = [-e^{-x}]_0^1 \] এখানে, \(x=1\) এ: \[ -e^{-1} \] এবং, \(x=0\) এ: \[ -e^{0} = -1 \] অতএব, \[ \int_0^1 e^{-x} \, dx = (-e^{-1}) - (-1) = -\frac{1}{e} + 1 \] সুতরাং, এর মান হলো: \[ \boxed{-\frac{1}{e} + 1} \]