একটি টাওয়ারের শীর্ষবিন্দু থেকে একটি কণা ছেড়ে দেয়া হল। কণাটি এর শেষতম সেকেন্ডে টাওয়ারের উচ্চতার 8/9 অংশ অতিক্রম করে? টাওয়ারটির উচ্চতা কত?

Another Explanation (3):

ধরি, টাওয়ারের উচ্চতা h এবং কণাটি মাটি স্পর্শ করতে t সেকেন্ড সময় নেয়।

আমরা জানি, মুক্তভাবে পড়ন্ত বস্তুর অতিক্রান্ত দূরত্ব s = ut + ½gt², যেখানে u হলো প্রাথমিক বেগ (এখানে u = 0), g হলো অভিকর্ষজ ত্বরণ (g ≈ 9.8 ms^-2)।

সুতরাং, টাওয়ারের উচ্চতা h = ½gt² ---- (1)

শেষ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব হলো t সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব এবং (t-1) সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্বের পার্থক্য।

t সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব = ½gt²

(t-1) সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব = ½g(t-1)²

প্রশ্নানুসারে, শেষ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব টাওয়ারের উচ্চতার 8/9 অংশ।

½gt² - ½g(t-1)² = (8/9)h

½g [t² - (t² - 2t + 1)] = (8/9) × ½gt²

½g (2t - 1) = (4/9)gt²

2t - 1 = (8/9)t²

8t² - 18t + 9 = 0

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। আমরা এখন t এর মান বের করব।

t = [18 ± √(18² - 4 × 8 × 9)] / (2 × 8)

t = [18 ± √(324 - 288)] / 16

t = [18 ± √36] / 16

t = [18 ± 6] / 16

সুতরাং, t এর দুটি মান পাওয়া যায়:

t₁ = (18 + 6) / 16 = 24 / 16 = 1.5 সেকেন্ড

t₂ = (18 - 6) / 16 = 12 / 16 = 0.75 সেকেন্ড

যেহেতু কণাটি শেষ সেকেন্ডে টাওয়ারের 8/9 অংশ অতিক্রম করে, তাই মোট সময় 1 সেকেন্ডের বেশি হতে হবে। সুতরাং, t = 1.5 সেকেন্ড গ্রহণযোগ্য।

এখন আমরা (1) নং সমীকরণে t এর মান বসিয়ে টাওয়ারের উচ্চতা h বের করব।

h = ½ × 9.8 × (1.5)²

h = 4.9 × 2.25

h = 11.025 মিটার

এখন আমরা বিকল্পগুলো বিশ্লেষণ করে দেখব কোনটি আমাদের উত্তরের সাথে মেলে:

সুতরাং, টাওয়ারটির উচ্চতা 11.025 মিটার।

সঠিক উত্তর: A. 11.025 মিটার