\( x^2 - 5x - 3 = 0 \) সমীকরণের মুলদ্বয় \( x_1, x_2 \) হলে \( \frac{1}{x_1}, \frac{1}{x_2} \) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর?

প্রথম ধাপ: মূল সমীকরণের তথ্য জানি

প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে:

\( x^2 - 5x - 3 = 0 \)

এখানে, মূলদ্বয় \( x_1, x_2 \)।

দ্বিতীয় ধাপ: মূলের যোগফল ও গুণফল নির্ণয়

বৈশিষ্ট্য অনুসারে,

• যোগফল: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)
• গুণফল: \( x_1 x_2 = \frac{c}{a} \)

অর্থাৎ,

\( x_1 + x_2 = \frac{5}{1} = 5 \)

\( x_1 x_2 = -3 \)

তৃতীয় ধাপ: নতুন মূলের জন্য সমীকরণ নির্ণয়

আমরা যদি \( y = \frac{1}{x} \) ধরি, তবে:

\( x = \frac{1}{y} \)

চতুর্থ ধাপ: মূল সমীকরণে পরিবর্তন

প্রথম সমীকরণে \( x \) এর স্থানে \( \frac{1}{y} \) বসিয়ে নিই:

\( \left(\frac{1}{y}\right)^2 - 5 \left(\frac{1}{y}\right) - 3 = 0 \)

এখন, সমীকরণটি সমাধান করা সহজ করার জন্য, সাধারণে, সমীকরণের সব অংশকে \( y \) দিয়ে গুণ করি:

\( \frac{1}{y^2} - \frac{5}{y} - 3 = 0 \)

সব ভাগের জন্য মূল গুণনীয়ক \( y^2 \):

\( 1 - 5y - 3 y^2 = 0 \)

অথবা, পুনর্বিন্যাস করি:

\( -3 y^2 - 5 y + 1 = 0 \)

অর্থাৎ, সাধারণ রুপে:

\( 3 y^2 + 5 y - 1 = 0 \)

উপসংহার:

অতএব, \( \frac{1}{x_1} \) এবং \( \frac{1}{x_2} \) এর মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হলো:

\( \boxed{3 y^2 + 5 y - 1 = 0} \)