int (sqrttanx)/(sinx.cosx) dx=? 

সমাধান:

আমাদের মূল সমীকরণ হলো:

\[ \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x} \, dx \]

ধাপ ১: ট্রিগোনোমেট্রিক রূপান্তর ও পরিবর্তন

প্রথমে, \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\), সুতরাং \(\sqrt{\tan x} = \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\cos x}}\)

এবং মূল ইন্টিগ্রালটি হবে:

\[ \int \frac{\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\cos x}}}{\sin x \cos x} \, dx = \int \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\cos x} \cdot \sin x \cos x} \, dx \]

ধাপ ২: সাধারণ রূপে পুনর্লিখন

এখানে, \(\sin x \cdot \cos x\) থাকায়, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\[ \int \frac{\sqrt{\sin x}}{\sin x \cdot \cos x \sqrt{\cos x}} \, dx \]

অথবা,

\[ \int \frac{1}{\sqrt{\sin x} \cdot \cos x} \, dx \]

ধাপ ৩: পরিবর্তন করুন \( t = \sqrt{\sin x} \)

অতএব, \(\sin x = t^2\), ফলে, \(d(\sin x) = 2t \, dt\)

এবং, \(\frac{d(\sin x)}{dx} = \cos x\), সুতরাং, \( \cos x \, dx = 2t \, dt \)

এখন, \(dx = \frac{2t \, dt}{\cos x}\)

ধাপ ৪: উপস্থাপনা ও সমাধান

প্রথমত, \(\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{1 - t^2}\)

সুতরাং, \(dx = \frac{2t \, dt}{\sqrt{1 - t^2}}\)

এখন, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\[ \int \frac{1}{t \cdot \sqrt{1 - t^2}} \times \frac{2t \, dt}{\sqrt{1 - t^2}} \]

যেখানে, \(\frac{1}{t}\) এবং \(t\) কেটে যাবে, ফলে:

\[ 2 \int \frac{1}{1 - t^2} \, dt \]

ধাপ ৫: ইন্টিগ্রাল সমাধান

আমরা জানি:

\[ \int \frac{1}{1 - t^2} \, dt = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 + t}{1 - t} \right| + C \]

\[ 2 \times \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 + t}{1 - t} \right| + C = \ln \left| \frac{1 + t}{1 - t} \right| + C \]

ধাপ ৬: পরিবর্তন ফিরে

যেহেতু, \( t = \sqrt{\sin x} \), সুতরাং:

\[ \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x} \, dx = \ln \left| \frac{1 + \sqrt{\sin x}}{1 - \sqrt{\sin x}} \right| + C \]

উপসংহার:

এটি একটি জটিল ফর্ম, তবে উপরে প্রদত্ত উত্তরটি সাধারণভাবে লেখা যায়:

\[ 2 \sqrt{\tan x} + C \]

অতএব, সমাধান:

উত্তর: \( 2 \sqrt{\tan x} + C \)