int 4sinx cosx dxএর মান কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\int 4 \sin x \cos x \, dx\) এর মান কী? উত্তর: \(2 \sin^2 x + C\) সমাধান: প্রথমে, ইন্টিগ্রেশনটি সহজ করার জন্য, ট্রিগনোমেট্রিক পরিচিতি ব্যবহার করব। বিশেষ করে, আমাদের জানা আছে যে: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] অতএব, \[ 4 \sin x \cos x = 2 \times 2 \sin x \cos x = 2 \times \sin 2x \] অর্থাৎ, \[ \int 4 \sin x \cos x \, dx = \int 2 \sin 2x \, dx \] এখন, ইন্টিগ্রেশন চালানো যাক: \[ \int 2 \sin 2x \, dx = 2 \int \sin 2x \, dx \] ইন্টিগ্রেশন সূত্র অনুযায়ী, \[ \int \sin kx \, dx = -\frac{1}{k} \cos kx + C \] অতএব, \[ 2 \int \sin 2x \, dx = 2 \times \left( -\frac{1}{2} \cos 2x \right) + C = - \cos 2x + C \] অতএব, আমাদের মূল ইন্টিগ্রেশন ফলাফল হলো: \[ \int 4 \sin x \cos x \, dx = - \cos 2x + C \] তবে, আমরা চাই সরাসরি \(\sin^2 x\) আকারে ফলাফল। এর জন্য, আমরা ট্রিগনোমেট্রিক পরিচিতি ব্যবহার করব: \[ \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x \] অতএব, \[ - \cos 2x + C = - (1 - 2 \sin^2 x) + C = -1 + 2 \sin^2 x + C \] যেহেতু C একটি অজানা ধ্রুবক, তাই এটি আবারও C হিসেবে লেখা যায়। মূলত, আমরা লিখতে পারি: \[ \int 4 \sin x \cos x \, dx = 2 \sin^2 x + C \] অতএব, সঠিক উত্তর হলো: $\backslash (2\; \backslash sin^2\; x\; +\; C\backslash )$