int(dx)/(e^(2x)+e^-(2x)) =কত ?

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: \[ \int \frac{dx}{e^{2x} + e^{-2x}} \] আমরা প্রথমে \(e^{2x}\) কমন নেই: \[ \int \frac{dx}{e^{2x}(1 + e^{-4x})} = \int \frac{e^{-2x} dx}{1 + e^{-4x}} \] এখন, ধরি \(u = e^{-2x}\), তাহলে \(\frac{du}{dx} = -2e^{-2x}\), সুতরাং \(dx = \frac{du}{-2e^{-2x}}\). তাহলে, \[ \int \frac{e^{-2x} dx}{1 + e^{-4x}} = \int \frac{e^{-2x}}{1 + (e^{-2x})^2} \cdot \frac{du}{-2e^{-2x}} = -\frac{1}{2} \int \frac{du}{1 + u^2} \] আমরা জানি, \(\int \frac{dx}{1 + x^2} = \tan^{-1}(x) + C\). সুতরাং, \[ -\frac{1}{2} \int \frac{du}{1 + u^2} = -\frac{1}{2} \tan^{-1}(u) + C = -\frac{1}{2} \tan^{-1}(e^{-2x}) + C \] এখন, আমরা জানি, \(\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(\frac{1}{x}) = \frac{\pi}{2}\). সুতরাং, \(\tan^{-1}(x) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(\frac{1}{x})\). তাহলে, \(-\frac{1}{2} \tan^{-1}(e^{-2x}) = -\frac{1}{2} [\frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(e^{2x})] = -\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \tan^{-1}(e^{2x})\). যেহেতু \(-\frac{\pi}{4}\) একটি ধ্রুবক, আমরা এটিকে \(C\) এর সাথে যোগ করে লিখতে পারি: \[ \frac{1}{2} \tan^{-1}(e^{2x}) + C \] অতএব, \[ \int \frac{dx}{e^{2x} + e^{-2x}} = \frac{1}{2} \tan^{-1}(e^{2x}) + C \] ✅