∫(√tanx)/(sinxcosx)  dx এর মান কত? 

প্রশ্ন: \( \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x} dx \) এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, \( I = \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x} dx \)

আমরা জানি, \( \sin x \cos x = \frac{\sin x \cos x}{1} = \frac{\sin x \cos x}{\sin^2 x + \cos^2 x} \)

অতএব, \( I = \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} \cdot \cos^2 x} dx = \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\tan x \cos^2 x} dx \)

আমরা জানি, \( \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \)

সুতরাং, \( I = \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\tan x} \sec^2 x dx = \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\tan x}} dx \)

এখন, ধরি \( \tan x = z^2 \). তাহলে, \( \sec^2 x dx = 2z dz \)

সুতরাং, \( I = \int \frac{2z}{\sqrt{z^2}} dz = \int \frac{2z}{z} dz = \int 2 dz = 2z + c \)

যেহেতু \( z = \sqrt{\tan x} \), তাই \( I = 2\sqrt{\tan x} + c \)

অতএব, \( \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x} dx = 2\sqrt{\tan x} + c \) 🎉🎉