\( \int_0^2 \frac{dx}{1 + e^{-x}} \) এর মান কত?

Another Explanation (5): প্রথমে, আমরা ইন্টিগ্রালটি বিবেচনা করি: \[ \int_0^2 \frac{dx}{1 + e^{-x}} \] আসুন, এই ইন্টিগ্রালটির জন্য একটি পরিবর্তন করি। আমরা সমানুপাতিক পরিবর্তন \( t = e^{-x} \) বিবেচনা করি। তাহলে, \[ t = e^{-x} \implies dt = -e^{-x} dx = -t dx \] অর্থাৎ, \[ dx = -\frac{dt}{t} \] প্রতিবন্ধীকরণে, সীমাগুলি পরিবর্তিত হয়: - যখন \( x = 0 \), তখন \( t = e^{0} = 1 \) - যখন \( x = 2 \), তখন \( t = e^{-2} \) এখন, ইন্টিগ্রালটি রূপান্তরিত হয়: \[ \int_{x=0}^{x=2} \frac{dx}{1 + e^{-x}} = \int_{t=1}^{t=e^{-2}} \frac{ -\frac{dt}{t} }{1 + t} \] এখানে, \(\frac{1}{1 + e^{-x}} = \frac{1}{1 + t}\) সুতরাং, \[ = - \int_{1}^{e^{-2}} \frac{1}{t(1 + t)} dt \] এখন, এই অংশটি ভগ্নাংশ বিভাজন দ্বারা সমাধান করি: \[ \frac{1}{t(1 + t)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{1 + t} \] অর্থাৎ, \[ 1 = A(1 + t) + Bt \] \( t \) এর জন্য সমানুপাতিক সমাধান: \[ 1 = A + At + Bt \] অতএব, \[ \begin{cases} A = 1 \\ A + B = 0 \Rightarrow B = -A = -1 \end{cases} \] সুতরাং, \[ \frac{1}{t(1 + t)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{1 + t} \] ইন্টিগ্রালটি এখন: \[ - \int_{1}^{e^{-2}} \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{1 + t} \right) dt \] এটি বিভক্ত হয়: \[ - \left( \int_{1}^{e^{-2}} \frac{1}{t} dt - \int_{1}^{e^{-2}} \frac{1}{1 + t} dt \right) \] প্রতিটি ইন্টিগ্রাল সমাধান করি: \[ = - \left( \left[ \ln |t| \right]_1^{e^{-2}} - \left[ \ln |1 + t| \right]_1^{e^{-2}} \right) \] সুতরাং, \[ = - \left( \ln e^{-2} - \ln 1 - \left( \ln (1 + e^{-2}) - \ln 2 \right) \right) \] \[ = - \left( -2 - 0 - \left( \ln (1 + e^{-2}) - \ln 2 \right) \right) \] \[ = - \left( -2 - \ln (1 + e^{-2}) + \ln 2 \right) \] \[ = 2 + \ln (1 + e^{-2}) - \ln 2 \] অতএব, মূল ইন্টিগ্রালটির মান হলো: \[ \boxed{ \int_0^2 \frac{dx}{1 + e^{-x}} = 2 + \ln \left( \frac{1 + e^{-2}}{2} \right) } \] এখন, লক্ষ্য করলে দেখা যায়: \[ 1 + e^{-2} = \frac{e^{2} + 1}{e^{2}} \] অতএব, \[ \frac{1 + e^{-2}}{2} = \frac{\frac{e^{2} + 1}{e^{2}}}{2} = \frac{e^{2} + 1}{2 e^{2}} \] তাই, \[ \int_0^2 \frac{dx}{1 + e^{-x}} = 2 + \ln \left( \frac{e^{2} + 1}{2 e^{2}} \right) \] এবং, \[ \ln \left( \frac{e^{2} + 1}{2 e^{2}} \right) = \ln (e^{2} + 1) - \ln 2 - 2 \] সুতরাং, \[ \int_0^2 \frac{dx}{1 + e^{-x}} = 2 + \left( \ln (e^{2} + 1) - \ln 2 - 2 \right) = \ln (e^{2} + 1) - \ln 2 \] অর্থাৎ, \[ = \ln \left( \frac{e^{2} + 1}{2} \right) \] এখানে, \( e^{2} \) এর মান একটি অপরিবর্তিত রূপে থাকে। তবে, এই ফলাফলটি আরও সরল করে লেখা যায়: \[ \boxed{ \int_0^2 \frac{dx}{1 + e^{-x}} = \ln \left( \frac{e^{2} + 1}{2} \right) } \] এবং, যেখানে \( e^{2} \approx 7.389 \), সেক্ষেত্রে, \[ \frac{e^{2} + 1}{2} \approx \frac{8.389}{2} = 4.1945 \] অতএব, মানটি: \[ \boxed{ \ln \left( \frac{3}{2} \right) } \] এটি সরাসরি মূল উত্তর নয়; তবে, মূল প্রশ্নের উত্তরে মূলত: \[ \boxed{ \int_0^2 \frac{dx}{1 + e^{-x}} = \ln \left( \frac{e^{2} + 1}{2} \right) } \]