int_0^1((1-x)/(1+x))dx=? 

সমাধান:

আমরা \(\int_0^1 \frac{1-x}{1+x} dx\) এর মান নির্ণয় করতে চাই।

প্রথমে, লবকে হর দিয়ে ভাগ করে পাই:

\(\frac{1-x}{1+x} = \frac{-(x+1)+2}{1+x} = -1 + \frac{2}{1+x}\)

অতএব,

\(\int_0^1 \frac{1-x}{1+x} dx = \int_0^1 \left(-1 + \frac{2}{1+x}\right) dx\)

\(= \int_0^1 -1 dx + \int_0^1 \frac{2}{1+x} dx\)

\(= - \int_0^1 dx + 2 \int_0^1 \frac{1}{1+x} dx\)

\(= -[x]_0^1 + 2 [\ln|1+x|]_0^1\)

\(= -(1-0) + 2 (\ln|1+1| - \ln|1+0|)\)

\(= -1 + 2(\ln 2 - \ln 1)\)

\(= -1 + 2(\ln 2 - 0)\)

\(= -1 + 2\ln 2\)

\(= -1 + \ln 2^2\)

\(= -1 + \ln 4\)

\(= \ln 4 - 1\)

\(= \ln 4 - \ln e\)

\(= \ln \frac{4}{e}\) 🎉

সুতরাং, \(\int_0^1 \frac{1-x}{1+x} dx = \ln \frac{4}{e}\).