int(sinx+cosx)/(sqrt(1+sin2x))dx=? 

প্রশ্ন: \(\int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{1 + \sin 2x}} dx = ?\)

সমাধান:

আমরা জানি, \(1 + \sin 2x = (\sin x + \cos x)^2\)
সুতরাং, \(\sqrt{1 + \sin 2x} = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x|\)

এখন, \(\int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{1 + \sin 2x}} dx = \int \frac{\sin x + \cos x}{|\sin x + \cos x|} dx\)

যদি \(\sin x + \cos x > 0\) হয়, তবে \(|\sin x + \cos x| = \sin x + \cos x\)
তাহলে, \(\int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} dx = \int 1 dx = x + c\)

যদি \(\sin x + \cos x < 0\) হয়, তবে \(|\sin x + \cos x| = -(\sin x + \cos x)\)
তাহলে, \(\int \frac{\sin x + \cos x}{-(\sin x + \cos x)} dx = \int -1 dx = -x + c\)

সাধারণভাবে, যদি আমরা ধরে নেই \(\sin x + \cos x > 0\), তবে উত্তর \(x + c\)। 🥳🥳

সুতরাং, \(\int \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{1 + \sin 2x}} dx = x + c\)