int(xe^x)/(1+x)^2dx= কত?

প্রশ্ন: \(\int \frac{xe^x}{(1+x)^2} dx = ?\)

উত্তর: \(\frac{e^x}{1+x} + c\)

সমাধান:

আমরা প্রথমে ইন্টিগ্রালটিকে একটু অন্যভাবে লিখি:

\(\int \frac{xe^x}{(1+x)^2} dx = \int \frac{(x+1-1)e^x}{(1+x)^2} dx\)

\(= \int \frac{(x+1)e^x}{(1+x)^2} dx - \int \frac{e^x}{(1+x)^2} dx\)

\(= \int \frac{e^x}{1+x} dx - \int \frac{e^x}{(1+x)^2} dx\)

এখন, আমরা প্রথম ইন্টিগ্রালটিকে parts এর মাধ্যমে সমাধান করি:

\(\int \frac{e^x}{1+x} dx = \frac{1}{1+x} \int e^x dx - \int \left( \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{1+x}\right) \int e^x dx \right) dx\)

\(= \frac{e^x}{1+x} - \int \left( \frac{-1}{(1+x)^2} e^x \right) dx\)

\(= \frac{e^x}{1+x} + \int \frac{e^x}{(1+x)^2} dx\)

সুতরাং, আমাদের মূল ইন্টিগ্রালটি দাঁড়ায়:

\(\int \frac{xe^x}{(1+x)^2} dx = \frac{e^x}{1+x} + \int \frac{e^x}{(1+x)^2} dx - \int \frac{e^x}{(1+x)^2} dx\)

\(= \frac{e^x}{1+x} + c\)

অতএব, \(\int \frac{xe^x}{(1+x)^2} dx = \frac{e^x}{1+x} + c\) 🥳