যদিint(e^x-e^-x)/(e^x+e^-x)dx = f(x) + c যেখানে c একটি ধ্রুবক হয় তবে f(x)=?

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: ধরি, \( I = \int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx \) এখানে, \( e^x + e^{-x} = z \) ধরলে, উভয় পক্ষে \( x \) এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করে পাই, \( \frac{d}{dx}(e^x + e^{-x}) = \frac{dz}{dx} \) \( \implies e^x - e^{-x} = \frac{dz}{dx} \) \( \implies (e^x - e^{-x}) dx = dz \) সুতরাং, \( I = \int \frac{dz}{z} \) \( I = \ln |z| + c \) , যেখানে \( c \) একটি ধ্রুবক। \( I = \ln |e^x + e^{-x}| + c \) যেহেতু, \( e^x > 0 \) এবং \( e^{-x} > 0 \) সুতরাং \( e^x + e^{-x} > 0 \) হবে। সুতরাং, \( |e^x + e^{-x}| = e^x + e^{-x} \) অতএব, \( I = \ln (e^x + e^{-x}) + c \) সুতরাং, \( f(x) = \ln (e^x + e^{-x}) \) 🥳🎉