int_0^1 e^-(x^2)dx=?
RUETউচ্চতর গণিত প্রথম পত্রযোগজীকরণযোগজ নির্ণয়ের সূত্র ও ধর্ম (Topic Practice)RUET - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
সঠিক উত্তরঃ
E.
sum_(k=0)^oo ((-1)^(k)x^(-1/2))/((2lnk)
Explanation: 
Another Explanation (5):
প্রশ্ন: \(\int_0^1 e^{-x^2} dx = ?\)
সমাধান:
আমরা \(e^x\) এর ম্যাকলরিন ধারা ব্যবহার করি:
\(e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\)
তাহলে,
\(e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x^2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}\)
এখন, আমরা ইন্টিগ্রাল করি:
\(\int_0^1 e^{-x^2} dx = \int_0^1 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!} dx\)
যোগজীকরণ এবং summation চিহ্নের স্থান পরিবর্তন করে পাই:
\(\int_0^1 e^{-x^2} dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \int_0^1 x^{2n} dx\)
\(\int_0^1 x^{2n} dx = \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \Big|_0^1 = \frac{1}{2n+1}\)
সুতরাং,
\(\int_0^1 e^{-x^2} dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n! (2n+1)}\)
এই ধারাটি converge করে। কয়েকটি পদের মান বের করে এর মান নির্ণয় করা যায়।
যেমন,
\(\sum_{n=0}^{5} \frac{(-1)^n}{n! (2n+1)} \approx 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \frac{1}{216} - \frac{1}{1320} \approx 0.7468\)
আসন্ন মান \( \approx 0.7468 \). গাণিতিকভাবে এর সঠিক মান এরর ফাংশন (error function) এর মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়।
\(\int_0^1 e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \text{erf}(1) \approx 0.74682413281\)
এখানে erf(x) হলো error function.
প্রদত্ত উত্তরটি সঠিক নয়। ❌
প্রশ্ন: \(\int_0^1 e^{-x^2} dx = ?\)
সমাধান:
আমরা \(e^x\) এর ম্যাকলরিন ধারা ব্যবহার করি:
\(e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\)
তাহলে,
\(e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x^2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}\)
এখন, আমরা ইন্টিগ্রাল করি:
\(\int_0^1 e^{-x^2} dx = \int_0^1 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!} dx\)
যোগজীকরণ এবং summation চিহ্নের স্থান পরিবর্তন করে পাই:
\(\int_0^1 e^{-x^2} dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \int_0^1 x^{2n} dx\)
\(\int_0^1 x^{2n} dx = \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \Big|_0^1 = \frac{1}{2n+1}\)
সুতরাং,
\(\int_0^1 e^{-x^2} dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n! (2n+1)}\)
এই ধারাটি converge করে। কয়েকটি পদের মান বের করে এর মান নির্ণয় করা যায়।
যেমন,
\(\sum_{n=0}^{5} \frac{(-1)^n}{n! (2n+1)} \approx 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \frac{1}{216} - \frac{1}{1320} \approx 0.7468\)
আসন্ন মান \( \approx 0.7468 \). গাণিতিকভাবে এর সঠিক মান এরর ফাংশন (error function) এর মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়।
\(\int_0^1 e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \text{erf}(1) \approx 0.74682413281\)
এখানে erf(x) হলো error function.
প্রদত্ত উত্তরটি সঠিক নয়। ❌