\(int_{2}^{5} \frac{dx}{x^2-4x+13}\) = ?

Explanation: প্রশ্ন বিশ্লেষণ: এখানে একটি ইন্টিগ্রাল সমীকরণের মান নির্ধারণ করা হয়েছে। অপশন বিশ্লেষণ: A. \( \frac{\pi}{2} \): ভুল, এটি সঠিক নয়। B. \( \frac{3\pi}{4} \): ভুল, এটি সঠিক নয়। C. \( \frac{3\pi}{4} \): ভুল, এটি সঠিক নয়। D. \( \frac{\pi}{12} \): সঠিক, এটি সঠিক ফলাফল। E. -: ভুল, সম্পর্কিত ??য়। নোট: ইন্টিগ্রাল সমীকরণের মান নির্ধারণের জন্য গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে সঠিক ফলাফল পাওয়া যায়।

Another Explanation (5): ```html

সমাধান: \( \int_{2}^{5} \frac{dx}{x^2-4x+13} \)

প্রথমে, ইন্টিগ্র‍্যান্ডটিকে \( a^2 + x^2 \) আকারে আনার চেষ্টা করি:

\( x^2 - 4x + 13 = x^2 - 4x + 4 + 9 = (x-2)^2 + 3^2 \)

তাহলে, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\( \int_{2}^{5} \frac{dx}{(x-2)^2 + 3^2} \)

ধরি, \( u = x - 2 \). তাহলে, \( du = dx \). যখন \( x = 2 \), তখন \( u = 0 \) এবং যখন \( x = 5 \), তখন \( u = 3 \).

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি \( u \) এর সাপেক্ষে হবে:

\( \int_{0}^{3} \frac{du}{u^2 + 3^2} \)

আমরা জানি, \( \int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C \).

অতএব, \( \int_{0}^{3} \frac{du}{u^2 + 3^2} = \frac{1}{3} \left[ \tan^{-1}(\frac{u}{3}) \right]_{0}^{3} \)

\( = \frac{1}{3} \left[ \tan^{-1}(\frac{3}{3}) - \tan^{-1}(\frac{0}{3}) \right] \)

\( = \frac{1}{3} \left[ \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(0) \right] \)

আমরা জানি, \( \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \) এবং \( \tan^{-1}(0) = 0 \).

সুতরাং, \( \frac{1}{3} \left[ \frac{\pi}{4} - 0 \right] = \frac{\pi}{12} \).

অতএব, \( \int_{2}^{5} \frac{dx}{x^2-4x+13} = \frac{\pi}{12} \) 🎉.

```