\( \int \frac{e^x (1 + x)}{x e^x} dx \) এর মান কত?

প্রথমে দেওয়া ইন্টেগ্রালটি হলো:

\( \int \frac{e^x (1 + x)}{x e^x} \, dx \)

সাধারণত, সহজ করার জন্য, আমরা বলি:

\( \int \frac{e^x (1 + x)}{x e^x} \, dx = \int \frac{1 + x}{x} \, dx \)

এখানে, numerator ও denominator একত্র করলে:

\( \frac{1 + x}{x} = \frac{1}{x} + \frac{x}{x} = \frac{1}{x} + 1 \)

অতএব, ইন্টেগ্রালটি এখন হয়:

\( \int \left( \frac{1}{x} + 1 \right) dx = \int \frac{1}{x} \, dx + \int 1 \, dx \)

প্রথম ইন্টেগ্রালটির সমাধান:

\( \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C_1 \)

আর দ্বিতীয় ইন্টেগ্রালটির সমাধান:

\( \int 1 \, dx = x + C_2 \)

অতএব, মূল ইন্টেগ্রালটির সমাধান হবে:

\( \ln |x| + x + C \)

কিন্তু প্রশ্নে দেওয়া উত্তরটি হলো:

" \( \ln |x e^x| + C \) "

এটি আসলে, আমরা যদি লিখি:

\( \ln |x e^x| = \ln |x| + \ln e^x = \ln |x| + x \)

অতএব, এটি একই মান, কারণ:

\( \ln |x| + x + C \equiv \ln |x e^x| + C \)

অতএব, উত্তরটি সঠিক।