int(x^2-1)/(x^2-4) dx

Explanation:

Another Explanation (5):

সমাধান:

আমরা \(\int \frac{x^2-1}{x^2-4} dx\) নির্ণয় করতে চাই।

প্রথমে, আমরা ভগ্নাংশটিকে একটু সরল করে নেই:

\[\frac{x^2-1}{x^2-4} = \frac{x^2-4+3}{x^2-4} = 1 + \frac{3}{x^2-4}\]

এখন, \(\frac{3}{x^2-4}\) কে আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করি:

\[\frac{3}{x^2-4} = \frac{3}{(x-2)(x+2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}\]

যেখানে, \(3 = A(x+2) + B(x-2)\)

x = 2 হলে, \(3 = A(2+2) + B(2-2) \implies 3 = 4A \implies A = \frac{3}{4}\)

x = -2 হলে, \(3 = A(-2+2) + B(-2-2) \implies 3 = -4B \implies B = -\frac{3}{4}\)

সুতরাং, \(\frac{3}{x^2-4} = \frac{3/4}{x-2} - \frac{3/4}{x+2}\)

এখন, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\[\int \frac{x^2-1}{x^2-4} dx = \int \left(1 + \frac{3/4}{x-2} - \frac{3/4}{x+2}\right) dx\] \[= \int 1 dx + \frac{3}{4} \int \frac{1}{x-2} dx - \frac{3}{4} \int \frac{1}{x+2} dx\] \[= x + \frac{3}{4} \ln|x-2| - \frac{3}{4} \ln|x+2| + c\] \[= x + \frac{3}{4} (\ln|x-2| - \ln|x+2|) + c\] \[= x + \frac{3}{4} \ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right| + c\]

অতএব, \(\int \frac{x^2-1}{x^2-4} dx = x + \frac{3}{4} \ln\left|\frac{x-2}{x+2}\right| + c\)

সুতরাং, উত্তর: