f(x)= 4x হলে-

1. intdx/(d(x))= 1/4 lnx+c
2. inte^f(x)dx=1/4e^(4x)+c
3.  int_0^2f(x)dx=8

নিচের কোনটি সঠিক ?

Another Explanation (5): প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে \(f(x) = 4x\)। উপস্থাপিত অপশনগুলো হলো: i) \(\int \frac{dx}{d(x)} = \frac{1}{4} \ln x + c\) ii) \(\int e^{f(x)} dx = \frac{1}{4} e^{4x} + c\) iii) \(\int_0^2 f(x) dx = 8\) --- ### বিশ্লেষণ ও সমাধান: #### 1. অপশন (i): প্রথমত, এখানে \(\int \frac{dx}{d(x)}\) বোঝা যাচ্ছে যে, এটি \(\int \frac{dx}{f(x)}\) এর সমাধান হতে পারে, যেখানে \(f(x) = 4x\)। অর্থাৎ, \[ \int \frac{dx}{f(x)} = \int \frac{dx}{4x} \] এটি সমাধান করলে, \[ \int \frac{dx}{4x} = \frac{1}{4} \int \frac{dx}{x} = \frac{1}{4} \ln |x| + c \] অতএব, অপশন (i) সঠিক। --- #### 2. অপশন (ii): এখন, \(f(x) = 4x\), তাই, \[ e^{f(x)} = e^{4x} \] অতএব, \[ \int e^{f(x)} dx = \int e^{4x} dx \] এটি সমাধান করলে, \[ \int e^{4x} dx = \frac{1}{4} e^{4x} + c \] অতএব, অপশন (ii) সঠিক। --- #### 3. অপশন (iii): এখানে, \[ \int_0^2 f(x) dx = \int_0^2 4x dx \] এটি সমাধান করলে, \[ \int_0^2 4x dx = 4 \int_0^2 x dx = 4 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = 4 \times \frac{(2)^2}{2} = 4 \times 2 = 8 \] অতএব, অপশন (iii) সঠিক। --- ### চূড়ান্ত উত্তর: সকল অপশন (i), (ii), এবং (iii) সঠিক। **উত্তর: i, ii ও iii**