intlog_3xdx এর মান হবে-

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: আমরা \(\int \log_3 x \, dx\) এর মান নির্ণয় করব। আমরা জানি, \(\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}\) সুতরাং, \(\log_3 x = \frac{\ln x}{\ln 3}\) তাহলে, \(\int \log_3 x \, dx = \int \frac{\ln x}{\ln 3} \, dx = \frac{1}{\ln 3} \int \ln x \, dx\) এখন, \(\int \ln x \, dx\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। এখানে আমরা Parts বা অংশ Integrals এর সূত্র ব্যবহার করব: \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\) এখানে, \(u = \ln x\) এবং \(dv = dx\) তাহলে, \(du = \frac{1}{x} \, dx\) এবং \(v = x\) সুতরাং, \(\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln x - \int 1 \, dx = x \ln x - x + c\) এখন, \(\int \log_3 x \, dx = \frac{1}{\ln 3} (x \ln x - x) + c\) আমরা জানি, \(\frac{1}{\ln 3} = \log_3 e\) তাহলে, \(\int \log_3 x \, dx = \log_3 e \cdot (x \ln x - x) + c = x \log_3 e \cdot \ln x - x \log_3 e + c\) আবার, \(\log_3 e \cdot \ln x = \frac{\ln e}{\ln 3} \cdot \ln x = \frac{1}{\ln 3} \ln x = \frac{\ln x}{\ln 3} = \log_3 x\) সুতরাং, \(\int \log_3 x \, dx = x \log_3 x - x \log_3 e + c\) অতএব, \(\int \log_3 x \, dx = x \log_3 x - x \log_3 e + c\) 🎉🎉