int_0^1 (1+x)/(1+x^2)dx এর মান কত?

আমরা \(\int_0^1 \frac{1+x}{1+x^2} dx\) এর মান নির্ণয় করতে চাই।

আমরা এটিকে দুটি ইন্টিগ্রালে ভাগ করতে পারি:

\(\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx + \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx\)

প্রথম ইন্টিগ্রালটি হলো:

\(\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan(x) \Big|_0^1 = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}\)

দ্বিতীয় ইন্টিগ্রালটি হলো:

\(\int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx\)

ধরি, \(u = 1+x^2\), তাহলে \(du = 2x dx\), সুতরাং \(x dx = \frac{1}{2} du\)।

যখন \(x = 0\), \(u = 1+0^2 = 1\)।

যখন \(x = 1\), \(u = 1+1^2 = 2\)।

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\(\int_1^2 \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_1^2 \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln(u) \Big|_1^2 = \frac{1}{2} (\ln(2) - \ln(1)) = \frac{1}{2} (\ln(2) - 0) = \frac{1}{2} \ln(2)\)

তাহলে, মূল ইন্টিগ্রালটির মান হলো:

\(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \ln(2)\)

সুতরাং, \(\int_0^1 \frac{1+x}{1+x^2} dx = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \ln(2)\)

🎉