g (x) = √x হলে-

i.  int1/g(x)dx=2sqrtx+c 

ii.  int_0^1g(x)dx=2/3 

iii.  int(sec^2xdx)/g(tanx)=2sqrttanx+c 

নিচের কোনটি সঠিক?

Another Explanation (5):

প্রশ্নের বিশ্লেষণ ও সমাধান:

প্রথমে আমাদের দেয়া গুণফল \( g(x) = \sqrt{x} \) ---

i. \(\int \frac{1}{g(x)} dx = 2 \sqrt{x} + c \)

সমাধান:

\[ \int \frac{1}{g(x)} dx = \int \frac{1}{\sqrt{x}} dx \] \[ = \int x^{-\frac{1}{2}} dx \] আসুন ইন্টিগ্রেশনের নিয়ম ব্যবহার করি: \[ \int x^{n} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad \text{(যখন \( n \neq -1 \))} \] এখানে, \( n = -\frac{1}{2} \): \[ \int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{2} + 1}}{-\frac{1}{2} + 1} + C = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C \] \[ = 2 x^{\frac{1}{2}} + C = 2 \sqrt{x} + C \] অর্থাৎ, **প্রথমটি সঠিক।** ---

ii. \(\int_0^1 g(x) dx = \frac{2}{3}\)

সমাধান:

\[ \int_0^1 g(x) dx = \int_0^1 \sqrt{x} dx \] \[ = \int_0^1 x^{\frac{1}{2}} dx \] এখানে, \[ \int x^{n} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \] অতএব, \[ \int_0^1 x^{\frac{1}{2}} dx = \left[ \frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} \right]_0^1 = \left[ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right]_0^1 = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \Big|_0^1 \] \[ = \frac{2}{3} (1)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} (0)^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} - 0 = \frac{2}{3} \] অর্থাৎ, **দ্বিতীয়টি সঠিক।** ---

iii. \(\frac{\int \sec^2 x dx}{g(\tan x)} = 2 \sqrt{\tan x} + c \)

সমাধান:

প্রথমে, numerator: \[ \int \sec^2 x dx = \tan x + C \] এবং, \[ g(\tan x) = \sqrt{\tan x} \] অতএব, \[ \frac{\int \sec^2 x dx}{g(\tan x)} = \frac{\tan x}{\sqrt{\tan x}} = \frac{\tan x}{(\tan x)^{1/2}} = (\tan x)^{1 - \frac{1}{2}} = (\tan x)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\tan x} \] অতএব, \[ \frac{\int \sec^2 x dx}{g(\tan x)} = \sqrt{\tan x} \] প্রশ্নে উল্লেখ করা হয়েছে: \[ = 2 \sqrt{\tan x} + c \] এবং আমরা দেখলাম, এটি আসলে \(\sqrt{\tan x}\), না \(2 \sqrt{\tan x}\)। অতএব, এটি ভুল। ---

সারসংক্ষেপ:

- i. সঠিক - ii. সঠিক - iii. ভুল অতএব, প্রশ্নের উত্তর: **"i, ii ও iii"** নয়। কারণ iii ভুল। সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো: **"i ও ii"**।