\( \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{2x - x^2}} \) এর মান কোনটি?

প্রথমে, সমাধানের জন্য ইনটিগ্রালটিকে সরলীকরণ করি:

\[ \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{2x - x^2}} \]

এখানে, মূল সমাধানের জন্য, আমরা লিখি:

\[ 2x - x^2 = - (x^2 - 2x) = - \left( x^2 - 2x + 1 - 1 \right) = - \left( (x - 1)^2 - 1 \right) \] অর্থাৎ, \[ 2x - x^2 = 1 - (x - 1)^2 \]

অতএব, ইনটিগ্রালটি হয়:

\[ \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1 - (x - 1)^2}} \]

এখন, পরিবর্তন করি:

\[ t = x - 1 \Rightarrow dt = dx \] যখন, যখন x = 0, t = -1; আর যখন x = 1, t = 0। সুতরাং, ইনটিগ্রালটি হয়:

\[ \int_{-1}^0 \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} \]

এটি একটি সুপরিচিত ইন্টিগ্রাল:

\[ \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \sin^{-1}(t) + C \]

অতএব, মূল মান হলো:

\[ \left[ \sin^{-1}(t) \right]_{-1}^0 = \sin^{-1}(0) - \sin^{-1}(-1) = 0 - \left( - \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{2} \]

সুতরাং, উত্তরের মান হলো:

\(\frac{\pi}{2}\)