নিচের যোগজ এর মান হবে int_0^1(xdx)/(1+x^4) 

আমরা যোগজটির মান নির্ণয় করব: \(\int_0^1 \frac{x}{1+x^4} dx\)

ধরি, \(u = x^2\). তাহলে, \(du = 2x dx\) অথবা \(x dx = \frac{1}{2} du\).

যখন \(x = 0\), তখন \(u = 0^2 = 0\). যখন \(x = 1\), তখন \(u = 1^2 = 1\).

সুতরাং, যোগজটি হবে:

\(\int_0^1 \frac{x}{1+x^4} dx = \int_0^1 \frac{1}{1+(x^2)^2} x dx = \int_0^1 \frac{1}{1+u^2} \frac{1}{2} du\)

\(= \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{1}{1+u^2} du\)

আমরা জানি, \(\int \frac{1}{1+u^2} du = \arctan(u) + C\).

সুতরাং, \(\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{1}{1+u^2} du = \frac{1}{2} [\arctan(u)]_0^1\)

\(= \frac{1}{2} [\arctan(1) - \arctan(0)]\)

আমরা জানি, \(\arctan(1) = \frac{\pi}{4}\) এবং \(\arctan(0) = 0\).

সুতরাং, \(\frac{1}{2} [\frac{\pi}{4} - 0] = \frac{\pi}{8}\).

অতএব, \(\int_0^1 \frac{x}{1+x^4} dx = \frac{\pi}{8}\). 🎉🎉