\( \int e^x \left( \frac{1}{x+2} - \frac{1}{(x+2)^2} \right) dx \) এর মান কত?

Explanation: Hints: \(\int \{e^x f(x) + e^x f'(x)\} = e^x f(x) + c\) Solve: এখানে, \(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x+2}\right) = \frac{d}{dx} (x+2)^{-1} = -1(x+2)^{-2} = -\frac{1}{(x+2)^2}\) অর্থাৎ \(f(x) = \frac{1}{x+2}\) এবং \(f'(x) = -\frac{1}{(x+2)^2}\) তাহলে, \(\int \{e^x f(x) + e^x f'(x)\} dx = e^x f(x) + c = e^x \frac{1}{x+2}\) Ans. (E) By Calculator: অপশনগুলোকে \(x\) এর যেকোনো মানের জন্য Differentiate করে দেখতে হবে কোনটির মান প্রদত্ত Integrand \(e^x \left(\frac{1}{x+2} - \frac{1}{(x+2)^2}\right)\) এর সাথে মিলে। যেটি মিলে, সেটিই Answer।

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: \( \int e^x \left( \frac{1}{x+2} - \frac{1}{(x+2)^2} \right) dx \) এর মান কত?

সমাধান:

আমরা জানি, \( \int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C \)
এখানে, \( f(x) = \frac{1}{x+2} \) হলে,
\( f'(x) = -\frac{1}{(x+2)^2} \)

সুতরাং, \( \int e^x \left( \frac{1}{x+2} - \frac{1}{(x+2)^2} \right) dx = \int e^x \left( f(x) + f'(x) \right) dx \)

\(= e^x f(x) + C \)
\(= e^x \cdot \frac{1}{x+2} + C \)
\(= \frac{e^x}{x+2} + C \)

অতএব, \( \int e^x \left( \frac{1}{x+2} - \frac{1}{(x+2)^2} \right) dx = \frac{e^x}{x+2} + C \) 🥳

সুতরাং, উত্তর: \( \frac{e^x}{x+2} \) 🤩

```