inte^x{1/(1-x)+1/(x-1)^2}dx=? 

প্রশ্ন: \(\int e^x \left(\frac{1}{1-x} + \frac{1}{(x-1)^2}\right) dx = ?\)

উত্তর: \(\frac{e^x}{1-x}\)

ব্যাখ্যা:

আমরা জানি, \(\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C\), যেখানে \(C\) একটি ধ্রুবক।

এখানে, \(f(x) = \frac{1}{1-x}\) হলে,

\(f'(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{1-x}\right) = \frac{d}{dx} (1-x)^{-1} = -1(1-x)^{-2}(-1) = \frac{1}{(1-x)^2} = \frac{1}{(x-1)^2}\)

সুতরাং, প্রদত্ত ইন্টিগ্রালটিকে লেখা যায়:

\(\int e^x \left(\frac{1}{1-x} + \frac{1}{(x-1)^2}\right) dx = \int e^x \left(f(x) + f'(x)\right) dx\)

অতএব, \(\int e^x \left(\frac{1}{1-x} + \frac{1}{(x-1)^2}\right) dx = e^x f(x) + C = e^x \left(\frac{1}{1-x}\right) + C = \frac{e^x}{1-x} + C\)

যেহেতু উত্তরে \(C\) উল্লেখ নেই, তাই উত্তরটি হবে \(\frac{e^x}{1-x}\) 😃