d/dx(x^(2x))  = কত ?

Another Explanation (5):

প্রশ্নের সমাধান

প্রশ্ন: \(\frac{d}{dx} \left( x^{2x} \right)\) কত?

সমাধান:

প্রথমে, ধরি \(f(x) = x^{2x}\)। এটি একপ্রকারের এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশন যেখানে এক্সপোনেন্টও \(x\) এর উপর নির্ভরশীল। এই ধরণের ফাংশনের ডেরিভেট নেয়ার জন্য, আমরা লোগারিথমিক ডিফারেনশিয়েশন পদ্ধতি ব্যবহার করব। \[ f(x) = x^{2x} \] এখন, লোগারিথম নেব: \[ \ln f(x) = \ln \left( x^{2x} \right) = 2x \ln x \] এখন, এই সমীকরণের ডেরিভেট নেব: \[ \frac{d}{dx} \left( \ln f(x) \right) = \frac{d}{dx} \left( 2x \ln x \right) \] অতিরিক্ত ডেরিভেট: \[ \frac{1}{f(x)} \frac{d f(x)}{dx} = \frac{d}{dx} \left( 2x \ln x \right) \] বাঁদিকে, ডানদিকে ডিফারেন্স করব: \[ \frac{d}{dx} \left( 2x \ln x \right) = 2 \left( \ln x + x \cdot \frac{1}{x} \right) = 2 (\ln x + 1) \] অতএব, \[ \frac{1}{f(x)} \frac{d f(x)}{dx} = 2 (\ln x + 1) \] অতএব, \[ \frac{d f(x)}{dx} = f(x) \cdot 2 (\ln x + 1) \] উল্লেখ্য, \(f(x) = x^{2x}\), সুতরাং,

উত্তর:

\[ \boxed{\frac{d}{dx} \left( x^{2x} \right) = x^{2x} \cdot 2 (\ln x + 1)} \] বা, \[ \frac{d}{dx} \left( x^{2x} \right) = x^{2x} (2 + 2 \ln x) \] এটি আমাদের চূড়ান্ত উত্তর।