Explanation: 
Another Explanation (5):
সমাধান: \( \int_{1}^{e} \ln x \, dx \)
আমরা ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস (Integration by parts) ব্যবহার করে এই ইন্টিগ্রালটি সমাধান করতে পারি।
ধরি,
\( u = \ln x \) এবং \( dv = dx \)
তাহলে,
\( du = \frac{1}{x} dx \) এবং \( v = x \)
ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস এর সূত্র: \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \)
অতএব,
\[
\begin{aligned}
\int_{1}^{e} \ln x \, dx &= \left[ x \ln x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot \frac{1}{x} \, dx \\
&= \left[ x \ln x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 1 \, dx \\
&= \left[ x \ln x \right]_{1}^{e} - \left[ x \right]_{1}^{e} \\
&= (e \ln e - 1 \ln 1) - (e - 1) \\
&= (e \cdot 1 - 1 \cdot 0) - (e - 1) \\
&= e - (e - 1) \\
&= e - e + 1 \\
&= 1
\end{aligned}
\]
সুতরাং, \( \int_{1}^{e} \ln x \, dx = 1 \) 🎉।
