\( \int_{0}^{4a} e^{\sqrt{x}} d(\sqrt{x}) \) এর মান কত?

Explanation: Hints: \( \sqrt{ax} \) কে কিছু একটা ধরে নিয়ে Solve করতে হবে। Solve: \( \int_{0}^{4/a} e^{\sqrt{ax}} d(\sqrt{x}) = \frac{1}{\sqrt{a}} \int_{0}^{2} e^z dz = \frac{1}{\sqrt{a}} \left[ e^z \right]_0^2 = \frac{1}{\sqrt{a}} (e^2 - e^0) = (e^2 - 1)/\sqrt{a} \) Ans. (A) ব্যাখ্যা: Upper limit ও lower limit কে variable change করার সময় convert করতে হয়। \( \sqrt{x} \) এর পরিবর্তে \( z \) use করার জন্য উক্ত অনুক্রম অনুযায়ী তাই limit change করা হয়েছে।

Another Explanation (5): ```html

ধরি, \( \sqrt{x} = t \)

সুতরাং, \( x = t^2 \)

অতএব, \( dx = 2t dt \) বা, \( d(\sqrt{x}) = dt \)

যখন \( x = 0 \), তখন \( t = \sqrt{0} = 0 \)

আবার, যখন \( x = 4a \), তখন \( t = \sqrt{4a} = 2\sqrt{a} \)

সুতরাং, \( \int_{0}^{4a} e^{\sqrt{x}} d(\sqrt{x}) = \int_{0}^{2\sqrt{a}} e^t dt \)

\( = [e^t]_{0}^{2\sqrt{a}} \)

\( = e^{2\sqrt{a}} - e^0 \)

\( = e^{2\sqrt{a}} - 1 \)

🤔🤔🤔 এখানে \( a=1 \) হলে , \( e^{2} - 1 \) হবে। অন্যথায় \( e^{2\sqrt{a}} - 1 \) হবে।

```