inte^x(x+1)dx=?

প্রশ্ন: \( \int e^x (x+1) dx = ? \)

সমাধান:

আমরা ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস ব্যবহার করব।

ধরি, \( u = x \) এবং \( dv = e^x dx \)

তাহলে, \( du = dx \) এবং \( v = \int e^x dx = e^x \)

ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস এর সূত্র: \( \int u dv = uv - \int v du \)

অতএব, \( \int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + c_1 \)

এখন, আমাদের নির্ণয় করতে হবে \( \int e^x (x+1) dx \)

\( \int e^x (x+1) dx = \int (x e^x + e^x) dx = \int x e^x dx + \int e^x dx \)

আমরা জানি, \( \int x e^x dx = x e^x - e^x + c_1 \) এবং \( \int e^x dx = e^x + c_2 \)

সুতরাং, \( \int e^x (x+1) dx = (x e^x - e^x + c_1) + (e^x + c_2) = x e^x - e^x + e^x + c_1 + c_2 = x e^x + k \), যেখানে \( k = c_1 + c_2 \) একটি ধ্রুবক।

অতএব, \( \int e^x (x+1) dx = x e^x + k \)

উত্তর: \( x e^x + k \) 🎉