intx/sqrt(1-x^2) dx  = কত ?

প্রশ্ন:

\(\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\, dx\)

উত্তর:

\(-\sqrt{1 - x^2} + C\)

সমাধান:

আমরা ইন্টিগ্রালটি সমাধান করব। প্রথমে, আসুন substitution করি:

উপসর্গ: \( u = 1 - x^2 \)

অতঃপর, ডিফারেনশিয়াল:

\( du = -2x\, dx \)
অর্থাৎ, \( x\, dx = -\frac{1}{2} du \)

এখন, ইন্টিগ্রালটি লিখি:

\[
\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\, dx = \int \frac{x}{\sqrt{u}}\, dx
\]
এখানে, \( x\, dx = -\frac{1}{2} du \), তাই:

\[
= \int \frac{-\frac{1}{2} du}{\sqrt{u}} = -\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du
\]

এখন, ইন্টিগ্রালটি সমাধান করি:
\[
= -\frac{1}{2} \times \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = -\sqrt{u} + C
\]

অবশেষে, মূল পরিবর্তনশীল ফিরে পাই:
\[
= -\sqrt{1 - x^2} + C
\]

অতএব, সমাধান:
\(\boxed{-\sqrt{1 - x^2} + C}\)