int_0^(1/2)e^(1-2x)dx এর মান কত?

আমরা \( \int_0^{\frac{1}{2}} e^{1-2x} dx \) এর মান নির্ণয় করব।

ধরি, \( u = 1-2x \)
তাহলে, \( \frac{du}{dx} = -2 \)
সুতরাং, \( dx = -\frac{1}{2} du \)

এখন, যখন \( x = 0 \), তখন \( u = 1-2(0) = 1 \)
এবং যখন \( x = \frac{1}{2} \), তখন \( u = 1-2(\frac{1}{2}) = 1-1 = 0 \)

সুতরাং, সমাকলনটি হবে:

\( \int_1^0 e^u \left(-\frac{1}{2}\right) du = -\frac{1}{2} \int_1^0 e^u du \)

আমরা জানি, \( \int e^u du = e^u + C \)
তাহলে, \( -\frac{1}{2} \int_1^0 e^u du = -\frac{1}{2} [e^u]_1^0 = -\frac{1}{2} (e^0 - e^1) \)

\( = -\frac{1}{2} (1 - e) = \frac{e-1}{2} \)

অতএব, \( \int_0^{\frac{1}{2}} e^{1-2x} dx = \frac{e-1}{2} \)

✅