যদি intf(x)dx=e^xlogx+c হয়, যেখানে c যোগজীকরণ ধ্রুবক, তাহলে f(x) কত?

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

সমাধান

দেওয়া আছে, \( \int f(x) \, dx = e^x \log x + c \). আমরা জানি, যোগজীকরণের বিপরীত প্রক্রিয়া হলো অবকলন। সুতরাং, উভয়পক্ষে \(x\) এর সাপেক্ষে অবকলন করে পাই: \[ \frac{d}{dx} \left( \int f(x) \, dx \right) = \frac{d}{dx} \left( e^x \log x + c \right) \] আমরা জানি, \( \frac{d}{dx} \left( \int f(x) \, dx \right) = f(x) \). সুতরাং, \[ f(x) = \frac{d}{dx} \left( e^x \log x + c \right) \] এখানে, \(c\) একটি ধ্রুবক, সুতরাং \(\frac{dc}{dx} = 0\). এখন, \( \frac{d}{dx} \left( e^x \log x \right) \) নির্ণয় করতে হবে। গুণফলের নিয়ম অনুসারে, \[ \frac{d}{dx} (uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} \] এখানে, \( u = e^x \) এবং \( v = \log x \). তাহলে, \( \frac{du}{dx} = e^x \) এবং \( \frac{dv}{dx} = \frac{1}{x} \). অতএব, \[ \frac{d}{dx} \left( e^x \log x \right) = e^x \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot e^x = \frac{e^x}{x} + e^x \log x \] \[ = e^x \left( \frac{1}{x} + \log x \right) = \frac{e^x}{x} (1 + x \log x) \] সুতরাং, \[ f(x) = \frac{e^x}{x} (1 + x \log x) \] অতএব, নির্ণেয় \( f(x) = \frac{e^x}{x} (1 + x \log x) \). 🎉 ```