intxe^x/(x+1)^2
e^x/(x+1)+c
প্রশ্ন: \(\int \frac{xe^x}{(x+1)^2} dx\)
সমাধান:
আমরা \( \int \frac{xe^x}{(x+1)^2} dx \) কে এভাবে লিখতে পারি:
\(\int \frac{(x+1-1)e^x}{(x+1)^2} dx = \int \frac{(x+1)e^x - e^x}{(x+1)^2} dx\)
\(= \int \frac{(x+1)e^x}{(x+1)^2} dx - \int \frac{e^x}{(x+1)^2} dx\)
\(= \int \frac{e^x}{x+1} dx - \int \frac{e^x}{(x+1)^2} dx\)
এখন, প্রথম ইন্টিগ্রালটিকে Parts এর মাধ্যমে সমাধান করি:
\(\int \frac{e^x}{x+1} dx = \frac{1}{x+1} \int e^x dx - \int \left( \frac{d}{dx} \frac{1}{x+1} \int e^x dx \right) dx\)
\(= \frac{e^x}{x+1} - \int \left( -\frac{1}{(x+1)^2} e^x \right) dx\)
\(= \frac{e^x}{x+1} + \int \frac{e^x}{(x+1)^2} dx\)
তাহলে, পুরো ইন্টিগ্রালটি হবে:
\(\int \frac{e^x}{x+1} dx - \int \frac{e^x}{(x+1)^2} dx = \frac{e^x}{x+1} + \int \frac{e^x}{(x+1)^2} dx - \int \frac{e^x}{(x+1)^2} dx\)
\(= \frac{e^x}{x+1} + C\)
সুতরাং, \(\int \frac{xe^x}{(x+1)^2} dx = \frac{e^x}{x+1} + C\)
উত্তর: \(\frac{e^x}{x+1} + C\) 🎉
```