\( \int_{0}^{1} \frac{e^x}{1+x} \left[ (1+x)\ln(1+x) + 1 \right] dx \) এর মান কত?
SUSTUnit-Bউচ্চতর গণিত প্রথম পত্রযোগজীকরণযোগজ নির্ণয়ের সূত্র ও ধর্ম (Topic Practice)SUST - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
সঠিক উত্তরঃ
E.
\( e \ln 2 \)
Explanation: Solve:\( \int_0^1 \frac{e^x}{1+x} \left[ (1+x)\ln(1+x)+1 \right] dx \\
= \int_0^1 e^x \left[ \ln(1+x) + \frac{1}{1+x} \right] dx \\
= \left[ e^x \ln(1+x) \right]_0^1 \\
= e^1\ln(1+1) - e^0\ln(1+0) \\
= e \ln 2 - \ln 1 = e \ln 2 - 0 = e \ln 2 \\
\text{Ans. (E)}\)
Another Explanation (5): ```html
সমাধান
ধরি, \(I = \int_{0}^{1} \frac{e^x}{1+x} \left[ (1+x)\ln(1+x) + 1 \right] dx \)
এখন, \(f(x) = e^x \ln(1+x) \) বিবেচনা করি।
তাহলে, \(f'(x) = e^x \ln(1+x) + e^x \cdot \frac{1}{1+x} = \frac{e^x}{1+x} \left[ (1+x) \ln(1+x) + 1 \right]\)
সুতরাং, \(I = \int_{0}^{1} f'(x) dx \)
আমরা জানি, \( \int f'(x) dx = f(x) + C \)
অতএব, \(I = \left[ e^x \ln(1+x) \right]_{0}^{1} \)
\(I = e^1 \ln(1+1) - e^0 \ln(1+0) \)
\(I = e \ln 2 - 1 \cdot \ln 1 \)
যেহেতু \(\ln 1 = 0\), সুতরাং \(I = e \ln 2 - 0 = e \ln 2\)
সুতরাং, \( \int_{0}^{1} \frac{e^x}{1+x} \left[ (1+x)\ln(1+x) + 1 \right] dx = e \ln 2 \)
🥳🎉
```