\( \int_{0}^{1} \frac{e^x}{1+x} \left[ (1+x)\ln(1+x) + 1 \right] dx \) এর মান কত?

সমাধান

ধরি, \(I = \int_{0}^{1} \frac{e^x}{1+x} \left[ (1+x)\ln(1+x) + 1 \right] dx \)

এখন, \(f(x) = e^x \ln(1+x) \) বিবেচনা করি।

তাহলে, \(f'(x) = e^x \ln(1+x) + e^x \cdot \frac{1}{1+x} = \frac{e^x}{1+x} \left[ (1+x) \ln(1+x) + 1 \right]\)

সুতরাং, \(I = \int_{0}^{1} f'(x) dx \)

আমরা জানি, \( \int f'(x) dx = f(x) + C \)

অতএব, \(I = \left[ e^x \ln(1+x) \right]_{0}^{1} \)

\(I = e^1 \ln(1+1) - e^0 \ln(1+0) \)

\(I = e \ln 2 - 1 \cdot \ln 1 \)

যেহেতু \(\ln 1 = 0\), সুতরাং \(I = e \ln 2 - 0 = e \ln 2\)

সুতরাং, \( \int_{0}^{1} \frac{e^x}{1+x} \left[ (1+x)\ln(1+x) + 1 \right] dx = e \ln 2 \)

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