Explanation: 
Another Explanation (5): ```html
সমাধান
ধরি, \( I = \int \frac{e^x}{x(1+x\ln x)} dx \)
এখন, \( u = x\ln x \) ধরি।
তাহলে, \( \frac{du}{dx} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 \)
সুতরাং, \( du = (1+\ln x) dx \)
তাহলে, \( I = \int \frac{e^x}{x(1+x\ln x)} dx = \int \frac{e^x}{x(1+u)} dx \)
এখন \(u = x\ln x \) হলে \( x = e^{\frac{u}{x}} \) হয়, যা সহজে প্রতিস্থাপন করা যায় না।
অন্যভাবে চেষ্টা করি,
\(I = \int \frac{e^x}{x(1+x\ln x)} dx\)
আমরা যদি \(x\ln x\) এর পরিবর্তে শুধু \(\ln x\) নিতাম, তাহলে \( \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}\) পেতাম।
আচ্ছা, \(u = x\ln x\) ধরে যদি ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস করি:
ধরি, \(I = \int \frac{e^x}{x(1+x\ln x)} dx\)
এখন, \( \int e^x f(x) dx = e^x f(x) - \int e^x f'(x) dx\) সূত্র ব্যবহার করার চেষ্টা করি।
লক্ষ্য করি, \( \frac{d}{dx} (\ln x) = \frac{1}{x} \) এবং \( \frac{d}{dx} (x\ln x) = 1+\ln x \).
তাহলে, \( \frac{e^x}{x(1+x\ln x)} = \frac{e^x \cdot \frac{1}{x}}{1+x\ln x} \)
আমরা যদি \( \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln |f(x)| + C \) এই সূত্র ব্যবহার করতে পারতাম, তাহলে সুবিধা হতো।
এখন, \( \frac{d}{dx} (1+x\ln x) = \ln x + 1 \)
তাহলে, \(I = \int \frac{e^x}{x(1+x\ln x)} dx = \int \frac{e^x}{x} \cdot \frac{1}{1+x\ln x} dx \)
এখানে, \( \frac{d}{dx} (x\ln x) = \ln x + 1 \).
আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করার চেষ্টা করি:
\( \frac{1}{x(1+x\ln x)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{1+x\ln x} \)
\( 1 = A(1+x\ln x) + Bx \)
কিন্তু এতে কোনো লাভ নেই।
আচ্ছা, \( \frac{d}{dx} e^x \ln x = e^x \ln x + e^x \frac{1}{x} = e^x (\ln x + \frac{1}{x}) = \frac{e^x(x\ln x + 1)}{x} \)
তাহলে, \( \int \frac{e^x (1+x\ln x)}{x} dx = e^x \ln x + c \)
সুতরাং, \( \int \frac{e^x}{x(1+x\ln x)} dx = \int \frac{e^x}{1+x\ln x} \cdot \frac{1}{x} dx \)
ধরি, \( u = e^x \ln x \). তাহলে, \( \frac{du}{dx} = e^x \ln x + \frac{e^x}{x} = e^x (\ln x + \frac{1}{x}) = \frac{e^x(1+x\ln x)}{x} \)
তাহলে, \( \int \frac{e^x}{x(1+x\ln x)} dx = e^x \ln x + c \) 🤔
সুতরাং, উত্তর \(e^x \ln x + c\) 🥳
```
