\( \int \left( e^{ax} + e^{-ax} \right) dx \) = ?

Explanation: Solve: \[ \int \frac{1}{e^{ax} + e^{-ax}} \, dx = \int \frac{e^{ax}}{\left(e^{ax}\right)^2 + 1} \, dx \] \[ = \int \frac{e^{ax}}{1^2 + \left(e^{ax}\right)^2} \, dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}e^{ax} + c \] \[ \text{সুত্র:} \, \int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + c \] Ans. \(\frac{1}{a}\tan^{-1}e^{ax} + c\)

Another Explanation (5): ```html

সমাধান: \( \int \left( e^{ax} + e^{-ax} \right) dx \)

আমরা এই যোগজটিকে দুটি অংশে ভাগ করে লিখতে পারি: \[ \int \left( e^{ax} + e^{-ax} \right) dx = \int e^{ax} dx + \int e^{-ax} dx \] এখন, প্রথম যোগজটি হলো: \[ \int e^{ax} dx = \frac{1}{a} e^{ax} + c_1 \] এবং দ্বিতীয় যোগজটি হলো: \[ \int e^{-ax} dx = -\frac{1}{a} e^{-ax} + c_2 \] সুতরাং, \[ \int \left( e^{ax} + e^{-ax} \right) dx = \frac{1}{a} e^{ax} - \frac{1}{a} e^{-ax} + c \] যেখানে \( c = c_1 + c_2 \) একটি সমাকলন ধ্রুবক। অতএব, নির্ণেয় যোগজটি হলো: \[ \frac{1}{a} e^{ax} - \frac{1}{a} e^{-ax} + c \] দেওয়া উত্তরটি \( \frac{1}{a} \tan^{-1}(e^{ax}) + c \) সঠিক নয়। ❌ সঠিক উত্তর : \( \frac{e^{ax}}{a} - \frac{e^{-ax}}{a} + c \) 🎉 ```