int_0^1(3dx)/(1+x^2) 

প্রশ্ন: \(\displaystyle \int_0^1 \frac{3\, dx}{1 + x^2}\)

উত্তর: \(\displaystyle \frac{3\pi}{4}\)

সমাধান:

প্রথমে, ইন্টিগ্রালটি লিখি:

\[ \int_0^1 \frac{3}{1 + x^2} \, dx \]

এটি একটি সাধারণ ইন্টিগ্রাল, যেখানে \(\displaystyle \int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan x + C\)।

অর্থাৎ,

\[ \int_0^1 \frac{3}{1 + x^2} \, dx = 3 \int_0^1 \frac{1}{1 + x^2} \, dx \]

এবং এটি সমাধান হবে:

\[ 3 [ \arctan x ]_0^1 \]

অর্থাৎ,

\[ 3 (\arctan 1 - \arctan 0) \]

আমাদের জানা আছে:

\[
\arctan 1 = \frac{\pi}{4} \quad \text{এবং} \quad \arctan 0 = 0
\]