int_1^4(ln(x))/sqrtxdx = ? 

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: ধরি, \(I = \int_1^4 \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} dx\) এখানে, আমরা \(u = \ln(x)\) এবং \(dv = \frac{1}{\sqrt{x}} dx\) ধরে ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস ব্যবহার করব। তাহলে, \(du = \frac{1}{x} dx\) এবং \(v = \int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2\sqrt{x}\) এখন, ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস এর সূত্র ব্যবহার করে: \(\int u dv = uv - \int v du\) সুতরাং, \(I = \left[ 2\sqrt{x} \ln(x) \right]_1^4 - \int_1^4 2\sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} dx\) \(I = \left[ 2\sqrt{4} \ln(4) - 2\sqrt{1} \ln(1) \right] - 2 \int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}} dx\) \(I = \left[ 2 \cdot 2 \ln(4) - 2 \cdot 1 \cdot 0 \right] - 2 \left[ 2\sqrt{x} \right]_1^4\) \(I = 4 \ln(4) - 4 \left[ \sqrt{4} - \sqrt{1} \right]\) \(I = 4 \ln(2^2) - 4 \left[ 2 - 1 \right]\) \(I = 4 \cdot 2 \ln(2) - 4 \cdot 1\) \(I = 8 \ln(2) - 4\) অতএব, \(\int_1^4 \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}} dx = 8\ln(2) - 4\) 🎉