\( \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx \) এর মান কোনটি?

প্রথমে, আমরা ইন্টিগ্রালটি বিবেচনা করি:

\[ I = \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx \]

এখানে, সাবস্টিটিউশন করা সুবিধাজনক, তাই ধরি:

\[ u = 1 - x^2 \]

অতএব,

\[ du = -2x dx \]

অর্থাৎ,

\[ x dx = -\frac{1}{2} du \]

ইন্টিগ্রালটি রূপান্তর করি:

\[ I = \int \frac{x}{\sqrt{u}} dx = \int \frac{x dx}{\sqrt{u}} \]

এখন, উপরের সমীকরণে, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, \( x dx = -\frac{1}{2} du \), সুতরাং:

\[ I = \int \frac{-\frac{1}{2} du}{\sqrt{u}} = -\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du \]

এখন, ইন্টিগ্রালটি সমাধান করি:

\[ -\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du = -\frac{1}{2} \left( \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right) + C = -\frac{1}{2} \times 2 u^{\frac{1}{2}} + C = - \sqrt{u} + C \]

অবশেষে, আমরা ফিরে যাই মূল ভেরিয়েবলে:

\[ u = 1 - x^2 \]

সুতরাং, সমাধান হলো:

\[ \boxed{ - \sqrt{1 - x^2} + C } \]