int_0^1dx/(sqrt(2x-x^2))=? 

প্রশ্ন: \(\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}} = ?\)

সমাধান:

আমরা প্রথমে ইন্টিগ্রান্ডটিকে সরল করি:

\(2x - x^2 = 1 - (1 - 2x + x^2) = 1 - (x - 1)^2\)

সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি দাঁড়ায়:

\(\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1 - (x - 1)^2}}\)

এখন, \(x - 1 = \sin\theta\) ধরি। তাহলে, \(dx = \cos\theta d\theta\)

যখন \(x = 0\), \(\sin\theta = -1\), সুতরাং \(\theta = -\frac{\pi}{2}\)

যখন \(x = 1\), \(\sin\theta = 0\), সুতরাং \(\theta = 0\)

তাহলে, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\(\int_{-\pi/2}^0 \frac{\cos\theta d\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}} = \int_{-\pi/2}^0 \frac{\cos\theta d\theta}{\sqrt{\cos^2\theta}} = \int_{-\pi/2}^0 \frac{\cos\theta d\theta}{\cos\theta} = \int_{-\pi/2}^0 d\theta\)

\(= [\theta]_{-\pi/2}^0 = 0 - (-\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}\)

অতএব, \(\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}} = \frac{\pi}{2}\) 🎉