\( \int_0^1 x e^x dx \) এর মান কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( \int_0^1 x e^x \, dx \) এর মান কোনটি? উত্তর: "1" সমাধান: প্রথমে, আমরা ইন্টিগ্রালটিকে ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস ব্যবহার করে সমাধান করবো। ধরি: \( u = x \Rightarrow du = dx \) এবং \( dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x \) তাহলে, ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টসের সূত্র অনুযায়ী: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] প্রয়োগ করি: \[ \int_0^1 x e^x dx = \left. x e^x \right|_0^1 - \int_0^1 e^x dx \] প্রথম অংশ: \[ \left. x e^x \right|_0^1 = (1)(e^1) - (0)(e^0) = e - 0 = e \] দ্বিতীয় অংশ: \[ \int_0^1 e^x dx = \left. e^x \right|_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1 \] অতএব, \[ \int_0^1 x e^x dx = e - (e - 1) = e - e + 1 = 1 \] অতএব, উত্তর: <جواب> <উত্তর> 1