যদি int1/(4-9x^2)dx=1/3sinax+c হয়, তাহলে 'a' এর মান কত? 

প্রশ্নে তথ্য অসম্পূর্ণ

প্রশ্নানুসারে, \( \int \frac{1}{4-9x^2} dx = \frac{1}{3} \sin^{-1}ax + c \) , যেখানে আমাদের 'a' এর মান নির্ণয় করতে হবে। 🤔

আমরা প্রথমে ইন্টিগ্রালটি সমাধান কর??র চেষ্টা করি: 🧐 \[ \int \frac{1}{4-9x^2} dx = \int \frac{1}{(2-3x)(2+3x)} dx \]

আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করে পাই: ✍️ \[ \frac{1}{(2-3x)(2+3x)} = \frac{A}{2-3x} + \frac{B}{2+3x} \]

সুতরাং, \( 1 = A(2+3x) + B(2-3x) \) এখন, \( x = \frac{2}{3} \) হলে, \( 1 = A(2+2) + B(0) \Rightarrow 1 = 4A \Rightarrow A = \frac{1}{4} \) এবং, \( x = -\frac{2}{3} \) হলে, \( 1 = A(0) + B(2+2) \Rightarrow 1 = 4B \Rightarrow B = \frac{1}{4} \)

তাহলে, ইন্টিগ্রালটি হবে: 😃 \[ \int \frac{1}{4-9x^2} dx = \int \left( \frac{1/4}{2-3x} + \frac{1/4}{2+3x} \right) dx \] \[ = \frac{1}{4} \int \left( \frac{1}{2-3x} + \frac{1}{2+3x} \right) dx \] \[ = \frac{1}{4} \left[ \frac{\ln|2-3x|}{-3} + \frac{\ln|2+3x|}{3} \right] + c \] \[ = \frac{1}{12} \left[ \ln|2+3x| - \ln|2-3x| \right] + c \] \[ = \frac{1}{12} \ln \left| \frac{2+3x}{2-3x} \right| + c \]

কিন্তু প্রদত্ত উত্তরে \( \sin^{-1} \) রয়েছে! 🤔 আমাদের ত্রুটি হয়েছে। আমরা অন্যভাবে চেষ্টা করি।

আমরা জানি, \( \int \frac{1}{a^2 - x^2} dx = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + c \) অথবা \( \frac{1}{a} tanh^{-1}(\frac{x}{a})+c \) অথবা \( \frac{1}{a}coth^{-1}(\frac{x}{a})+c \) হবে। এক্ষেত্রে \( \sin^{-1} \) আসার সম্ভাবনা কম।

যদি প্রশ্নটি এমন হয়: \( \int \frac{1}{\sqrt{4-9x^2}} dx = \frac{1}{3} \sin^{-1}ax + c \), তাহলে: 🤯 \[ \int \frac{1}{\sqrt{4-9x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{4(1-\frac{9x^2}{4})}} dx = \int \frac{1}{2\sqrt{1-(\frac{3x}{2})^2}} dx \] \[ = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{3x}{2})^2}} dx \] এখন, \( u = \frac{3x}{2} \) ধরলে, \( du = \frac{3}{2} dx \Rightarrow dx = \frac{2}{3} du \) \[ = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{2}{3} du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} du \] \[ = \frac{1}{3} \sin^{-1}u + c = \frac{1}{3} \sin^{-1} \left( \frac{3x}{2} \right) + c \]

অতএব, \( \frac{1}{3} \sin^{-1} \left( \frac{3x}{2} \right) + c = \frac{1}{3} \sin^{-1} ax + c \) এর সাথে তুলনা করে পাই, \( a = \frac{3}{2} \). 🎉

কিন্তু যদি প্রশ্নটি \( \int \frac{1}{4-9x^2} dx \) ই থাকে, তাহলে \( \frac{1}{3} \sin^{-1}ax + c \) এই আকারে প্রকাশ করা সম্ভব নয়। তাই উত্তর হবে nan। 🤷‍♀️