int_0^1dx/(e^x+e^-x) এর মান কত?

দেওয়া আছে, \( \int_{0}^{1} \frac{dx}{e^x + e^{-x}} \)

আমরা জানি, \( e^{-x} = \frac{1}{e^x} \). সুতরাং,

\( \int_{0}^{1} \frac{dx}{e^x + \frac{1}{e^x}} = \int_{0}^{1} \frac{e^x}{e^{2x} + 1} dx \)

ধরি, \( e^x = t \). তাহলে, \( e^x dx = dt \) হবে।

যখন \( x = 0 \), তখন \( t = e^0 = 1 \) এবং যখন \( x = 1 \), তখন \( t = e^1 = e \).

সুতরাং, সমাকলনটি হবে:

\( \int_{1}^{e} \frac{dt}{t^2 + 1} \)

আমরা জানি, \( \int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \tan^{-1}(x) + C \).

অতএব, \( \int_{1}^{e} \frac{dt}{t^2 + 1} = \left[ \tan^{-1}(t) \right]_{1}^{e} \)

\( = \tan^{-1}(e) - \tan^{-1}(1) \)

আমরা জানি, \( \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \).

সুতরাং, \( \tan^{-1}(e) - \frac{\pi}{4} \). 🎉🎉

অতএব, \( \int_{0}^{1} \frac{dx}{e^x + e^{-x}} = \tan^{-1}(e) - \frac{\pi}{4} \). 🥳🥳