\( \int \frac{x^2}{\sqrt{x^3 + 1}} \, dx = ? \)

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রথমে, আমাদের ইন্টিগ্রালটি হলো: \[ \int \frac{x^2}{\sqrt{x^3 + 1}} \, dx \] এখানে, সাবস্টিটিউশনের জন্য, ধরুন: \[ t = x^3 + 1 \] অতএব, \[ dt = 3x^2 \, dx \] অথবা, \[ x^2 \, dx = \frac{dt}{3} \] এখন, ইন্টিগ্রালটি পরিবর্তন করি: \[ \int \frac{x^2}{\sqrt{x^3 + 1}} \, dx = \int \frac{\frac{dt}{3}}{\sqrt{t}} = \frac{1}{3} \int t^{-\frac{1}{2}} \, dt \] ইন্টিগ্রালটি সমাধান করি: \[ \frac{1}{3} \int t^{-\frac{1}{2}} \, dt = \frac{1}{3} \left( \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right) + C = \frac{1}{3} \times 2 t^{\frac{1}{2}} + C \] সুতরাং, \[ = \frac{2}{3} \sqrt{t} + C \] মূল পরিবর্তনশীলের মান ফিরিয়ে আনলে: \[ t = x^3 + 1 \] অতএব, চূড়ান্ত উত্তর হলো: \[ \boxed{ \frac{2}{3} \sqrt{x^3 + 1} + C } \]