intdx/sqrt(9-16x^2) কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{9 - 16x^2}}\) উত্তর: \(\displaystyle \frac{1}{4} \sin^{-1}\left(\frac{4x}{3}\right) + C\) সমাধান: ধরা যাক, \(I = \int \frac{dx}{\sqrt{9 - 16x^2}}\) প্রথমে, নির্ণয় করতে পারি যে, এই আকারের ইনটিগ্রালটি সাইন ইনভার্স ফাংশনের সাথে সম্পর্কিত। এজন্য, সাধারণত আলাদা করে রূপান্তর করি: \[ I = \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - (bx)^2}} \] এখানে, \(a^2 = 9\) => \(a = 3\), এবং \(b^2 = 16\) => \(b = 4\). অর্থাৎ, \[ I = \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - (b x)^2}} \] আমরা \(u = b x \Rightarrow du = b dx \Rightarrow dx = \frac{du}{b}\) সুতরাং, \[ I = \int \frac{\frac{du}{b}}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \frac{1}{b} \int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} \] আমরা জানি, \[ \int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \sin^{-1} \left( \frac{u}{a} \right) + C \] অতএব, \[ I = \frac{1}{b} \sin^{-1} \left( \frac{u}{a} \right) + C \] প্রতিস্থাপন করি \(u = 4x\), \(a = 3\), \(b = 4\): \[ I = \frac{1}{4} \sin^{-1} \left( \frac{4x}{3} \right) + C \] অতএব, \[ \boxed{ \int \frac{dx}{\sqrt{9 - 16x^2}} = \frac{1}{4} \sin^{-1} \left( \frac{4x}{3} \right) + C } \]