\( \int \frac{\ln(\ln x)}{x} dx = ? \)

সমাধান:

আমাদের সমাধান করতে হবে:

$$ \int \frac{\ln(\ln x)}{x} \, dx $$

ধাপ 1: সাবস্টিটিউশান প্রয়োগ

সাধারণত এই ধরনের ইন্টিগ্রাল সমাধানের জন্য, আমরা substitution করব: $$ t = \ln x $$ অতএব, $$ dt = \frac{1}{x} dx $$ এবং, $$ dx = x \, dt = e^{t} dt $$

ধাপ 2: ইন্টিগ্রাল পুনর্লিখন

বিকল্পের মাধ্যমে ইন্টিগ্রালটি লেখি: $$ \int \frac{\ln(\ln x)}{x} dx = \int \ln(t) \, dt $$

ধাপ 3: ইন্টিগ্রাল সমাধান

এখন, আমাদের সমাধান করতে হবে: $$ \int \ln(t) \, dt $$ আমরা জানি যে, $$ \int \ln(t) \, dt = t \ln t - t + C $$

ধাপ 4: সাবস্টিটিউশন ফিরে করা

সুতরাং, $$ t = \ln x $$ অতএব, $$ \int \frac{\ln(\ln x)}{x} dx = \ln x \cdot \ln(\ln x) - \ln x + C $$

উপসংহার:

অতএব, সমাধান হলো: $$ \boxed{ \int \frac{\ln(\ln x)}{x} dx = \ln x \cdot |\ln(\ln x)| - \ln x + C } $$ যেখানে \( C \) একটি স্থির ধ্রুবক।