int_0^(oo)(e^-x)/(1+e^-x)dx এর মান হবে-

প্রদত্ত ইন্টিগ্রালটি হলো: \( \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} dx \)

ধরি, \( u = e^{-x} \), তাহলে \( du = -e^{-x} dx \)। সুতরাং, \( dx = -\frac{du}{e^{-x}} = -\frac{du}{u} \)

যখন \( x = 0 \), তখন \( u = e^{-0} = 1 \) এবং যখন \( x \to \infty \), তখন \( u = e^{-\infty} = 0 \)

সুতরাং ইন্টিগ্রালটি পরিবর্তিত হয়ে দাঁড়ায়: \( \int_{1}^{0} \frac{u}{1+u} \left(-\frac{du}{u}\right) = -\int_{1}^{0} \frac{1}{1+u} du = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+u} du \)

এখন, \( \int \frac{1}{1+u} du = \ln|1+u| + C \)

সুতরাং, \( \int_{0}^{1} \frac{1}{1+u} du = \left[ \ln|1+u| \right]_{0}^{1} = \ln|1+1| - \ln|1+0| = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 - 0 = \ln 2 \)

অতএব, \( \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} dx = \ln 2 \)