int_1^e log_exdx=? 

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: আমরা \(\int_1^e \log_e x \, dx\) এর মান নির্ণয় করব। আমরা জানি, \(\log_e x = \ln x\)। সুতরাং, \(\int_1^e \ln x \, dx\) এখানে, ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস ব্যবহার করি। ধরি, \(u = \ln x\) এবং \(dv = dx\) তাহলে, \(du = \frac{1}{x} dx\) এবং \(v = x\) আমরা জানি, \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\) সুতরাং, \(\int_1^e \ln x \, dx = \left[ x \ln x \right]_1^e - \int_1^e x \cdot \frac{1}{x} \, dx\) \(= \left[ x \ln x \right]_1^e - \int_1^e 1 \, dx\) \(= \left[ x \ln x \right]_1^e - \left[ x \right]_1^e\) \(= (e \ln e - 1 \ln 1) - (e - 1)\) \(= (e \cdot 1 - 1 \cdot 0) - (e - 1)\) \(= e - (e - 1)\) \(= e - e + 1\) \(= 1\) অতএব, \(\int_1^e \log_e x \, dx = 1\) 🎉🎉🎉