intcosecx dx = কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \(\int \csc x\, dx\) কত?

উত্তর: \(\ln |\tan \frac{x}{2}| + C\)

সমাধান:

আমরা প্রথমে পরিচিত ট্রিগনোমেট্রিক সমীকরণ ব্যবহার করব:

\( \csc x = \frac{1}{\sin x} \)

প্রথমে, \(\csc x\) এর ইন্টিগ্রাল সমাধান করতে, আমরা \(\csc x\) কে বিভক্ত করবঃ

\[ \int \csc x\, dx = \int \frac{1}{\sin x}\, dx \]

এখন, \(\sin x\) এর জন্য পরিচিত substitution ব্যবহার করব। সেট করুন:

\[ t = \tan \frac{x}{2} \]

এখন, আমাদের জানা আছে:

\[ \sin x = \frac{2 t}{1 + t^2} \] \[ dx = \frac{2}{1 + t^2} dt \]

তাহলে, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\[ \int \frac{1}{\sin x} dx = \int \frac{1}{\frac{2 t}{1 + t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} dt \]

সাধারণ করে লিখলে:

\[ = \int \frac{1 + t^2}{2 t} \cdot \frac{2}{1 + t^2} dt \]

এখানে, \((1 + t^2)\) সাধারণ অংশ কেটে যাবে এবং 2 কেটে যাবে, ফলে:

\[ = \int \frac{1}{t} dt \]

অতএব, সমাধান:

\[ = \ln |t| + C \]

প্রথমে, আমাদের t এর মান ফিরে লিখতে হবে:

\[ t = \tan \frac{x}{2} \]

অতএব, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\[ \boxed{\int \csc x\, dx = \ln |\tan \frac{x}{2}| + C} \]

উপসংহার:

অতএব, \(\int \csc x\, dx = \ln |\tan \frac{x}{2}| + C\)