int(e^(3x)-1)/(e^(3x)+1)dx
CUETউচ্চতর গণিত প্রথম পত্রযোগজীকরণযোগজ নির্ণয়ের সূত্র ও ধর্ম (Topic Practice)CUET - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
সঠিক উত্তরঃ
B.
x+2/3log(1+e^(-3x))
Explanation: 
Another Explanation (5): ```html
সমাধান:
ধরি, \(I = \int \frac{e^{3x} - 1}{e^{3x} + 1} dx\) 🤔
আমরা লিখতে পারি,
\(I = \int \frac{e^{3x} + 1 - 2}{e^{3x} + 1} dx\) 🤓
\(I = \int \left(1 - \frac{2}{e^{3x} + 1}\right) dx\) 🤩
\(I = \int 1 dx - 2 \int \frac{1}{e^{3x} + 1} dx\) 🧐
এখন, \(\int \frac{1}{e^{3x} + 1} dx = \int \frac{e^{-3x}}{1 + e^{-3x}} dx\) 😎
ধরি, \(u = 1 + e^{-3x}\), তাহলে \(\frac{du}{dx} = -3e^{-3x}\) এবং \(dx = \frac{du}{-3e^{-3x}}\) 🙌
সুতরাং, \(\int \frac{e^{-3x}}{1 + e^{-3x}} dx = \int \frac{e^{-3x}}{u} \frac{du}{-3e^{-3x}} = -\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du\) 🥰
\( = -\frac{1}{3} \ln |u| + C = -\frac{1}{3} \ln |1 + e^{-3x}| + C\) 🤯
তাহলে, \(I = x - 2 \left(-\frac{1}{3} \ln |1 + e^{-3x}|\right) + C\) 🥳
\(I = x + \frac{2}{3} \ln (1 + e^{-3x}) + C\) 🤡
অতএব, নির্ণেয় সমাধান: \(x + \frac{2}{3} \ln(1 + e^{-3x}) + C\)
```
সমাধান:
ধরি, \(I = \int \frac{e^{3x} - 1}{e^{3x} + 1} dx\) 🤔
আমরা লিখতে পারি, \(I = \int \frac{e^{3x} + 1 - 2}{e^{3x} + 1} dx\) 🤓
\(I = \int \left(1 - \frac{2}{e^{3x} + 1}\right) dx\) 🤩
\(I = \int 1 dx - 2 \int \frac{1}{e^{3x} + 1} dx\) 🧐
এখন, \(\int \frac{1}{e^{3x} + 1} dx = \int \frac{e^{-3x}}{1 + e^{-3x}} dx\) 😎
ধরি, \(u = 1 + e^{-3x}\), তাহলে \(\frac{du}{dx} = -3e^{-3x}\) এবং \(dx = \frac{du}{-3e^{-3x}}\) 🙌
সুতরাং, \(\int \frac{e^{-3x}}{1 + e^{-3x}} dx = \int \frac{e^{-3x}}{u} \frac{du}{-3e^{-3x}} = -\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du\) 🥰
\( = -\frac{1}{3} \ln |u| + C = -\frac{1}{3} \ln |1 + e^{-3x}| + C\) 🤯
তাহলে, \(I = x - 2 \left(-\frac{1}{3} \ln |1 + e^{-3x}|\right) + C\) 🥳
\(I = x + \frac{2}{3} \ln (1 + e^{-3x}) + C\) 🤡
অতএব, নির্ণেয় সমাধান: \(x + \frac{2}{3} \ln(1 + e^{-3x}) + C\)
```