inte^x{f(x)+fprime(x)}dx=?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \(\int e^x \left( f(x) + f'(x) \right) dx = ?

উত্তর: \(\boxed{e^x f(x) + c}\)

সমাধান:

ধরি, \(I = \int e^x \left( f(x) + f'(x) \right) dx\)

প্রথমে, এই সমীকরণটি বিভক্ত করি:

\[ I = \int e^x f(x) dx + \int e^x f'(x) dx \]

প্রথম অংশের সমাধান:

\[ J = \int e^x f(x) dx \]

দ্বিতীয় অংশ মনে করি, যেখানে উভয়ই অংকের উপর ভিত্তি করে:

দ্বিতীয় অংশের জন্য, মনে রাখি যে:

\[ \frac{d}{dx} \left( e^x f(x) \right) = e^x f(x) + e^x f'(x) \]

অতএব, এই ডেরিভেটিভের মধ্যে, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে:

\[ e^x f'(x) = \frac{d}{dx} \left( e^x f(x) \right) - e^x f(x) \]

অর্থাৎ, দ্বিতীয় অংশ:

\[ \int e^x f'(x) dx = e^x f(x) - \int e^x f(x) dx = e^x f(x) - J \]

এখন, মূল সমাধানে ফিরে আসি:

\[ I = J + \left( e^x f(x) - J \right) = e^x f(x) + c \]

অতএব, উত্তর:

\[ \boxed{\int e^x \left( f(x) + f'(x) \right) dx = e^x f(x) + c} \]